正则化（Regularization）

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作$\ell_{1}$ -norm和$\ell_{2}-$ norm，中文称作L1正则化和L2正则化，或者L1范数和L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项$\alpha|w|_{1}$即为L1正则化项。

$\min _{w} \frac{1}{2 n_{\text {samples}}}|X w-y|_{2}^{2}+\alpha|w|_{1}$

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项$\alpha|w|_{2}^{2}$即为L2正则化项。

$\min _{w}|X w-y|_{2}^{2}+\alpha|w|_{2}^{2}$

一般回归分析中回归$w$表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

L1正则化是指权值向量$w$中各个元素的绝对值之和，通常表示为$|w|_{1}$

L2正则化是指权值向量$w$中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为$|w|_{2}$

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python中用$\alpha$表示，一些文章也用$\lambda$表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择

L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

通过L1正则项来选择特征：L1正则方法具有稀疏解的特性，因此天然具备特征选择的特性，但是要注意，L1没有选到的特征不代表不重要，原因是两个具有高相关性的特征可能只保留了一个，如果要确定哪个特征重要应再通过L2正则方法交叉检验；应该是说，分别使用L1和L2拟合，如果两个特征在L2中系数相接近，在L1中一个系数为0一个不为0，那么其实这两个特征都应该保留，原因是L1对于强相关特征只会保留一个。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

L1正则化和特征选择

假设有如下带L1正则化的损失函数：

$J=J_{0}+\alpha \sum_{w}|w|$

其中$ J_0$是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项，$\alpha$是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和，$J$是带有绝对值符号的函数，因此$J$是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。监督机器学习问题无非就是“minimizeyour error while regularizing your parameters”，也就是在规则化参数的同时最小化误差。当我们在原始损失函数$ J_0$后添加L1正则化项时，相当于对$J_0$做了一个约束。令$L=α∑w∣w∣ L = \alpha \sum_w{|w|}$，则$J=J_{0}+L$此时我们的任务变成在$L$约束下求出$J_0$取最小值的解.考虑二维的情况，即只有两个权值$w^1$和$w^2$ ，此时$L=\left|w^{1}\right|+\left|w^{2}\right|$，对于梯度下降法，求解$J_0$的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数$L$也可以在$w^1w^2$的二维平面上画出来。如下图：

图中等值线是$J_0$的等值线，黑色方形是$L$函数的图形。在图中，当$J_0$ 等值线与$L$图形首次相交的地方就是最优解。上图中$J_0$与$L$在$L$的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是$(w^1,w^2)=(0,w) $。可以直观想象，因为L LL函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多），$J_0$与这些角接触的机率会远大于与$L$其它部位接触的机率，而在这些角上，会有很多权值等于0，这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数$\alpha$，可以控制$L$图形的大小。$\alpha$越小，$L$的图形越大（上图中的黑色方框）；$\alpha$越大，$L$的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值$(w^1,w^2)=(0,w)$ 中的$w$可以取到很小的值。类似，假设有如下带L2正则化的损失函数：

$J=J_{0}+\alpha \sum_{w} w^{2}$

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆，与方形相比，被磨去了棱角。因此$J_0$与$L$相交时使得$w^1$ 或$w^2$ 等于零的机率小了许多，这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因。

L2正则化和过拟合

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例。假设要求的参数为$\theta$，$h_{\theta}(x)$是我们的假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。单个样本的平方差是$\left(h_{\theta}(x)-y\right)^{2}$，如果考虑所有样本，损失函数是对每个样本的平方差求和，假设有$m $个样本，线性回归的代价函数如下，为了后续处理方便，乘以一个常数$\frac{1}{2 m}$：

$J(\theta)=\frac{1}{2 m} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2}$

在梯度下降算法中，需要先对参数求导，得到梯度。梯度本身是上升最快的方向，为了让损失尽可能小，沿梯度的负方向更新参数即可。

对于单个样本，先对某个参数$\theta_{j}$求导：

$\frac{\partial}{\partial \theta_{j}} J(\theta)=\frac{1}{m}\left(h_{\theta}(x)-y\right) \frac{\partial}{\partial \theta_{j}} h_{\theta}(x)$

注意到$h_{\theta}(x)$的表达式为$h_{\theta}(x)=\theta_{0} x_{0}+\theta_{1} x_{1}+\cdots+\theta_{n} x_{n}$。单个样本对某个参数$\theta_j$求导，$\frac{\partial}{\partial \theta_{j}} h_{\theta}(x)=x_{j}$，最终上式结果如下：

$\frac{\partial}{\partial \theta_{j}} J(\theta)=\frac{1}{m}\left(h_{\theta}(x)-y\right) x_{j}$

在考虑所有样本的情况，将每个样本对$\theta_j$的导数求和即可，得到下式：

$\frac{\partial}{\partial \theta_{j}} J(\theta)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x_{j}^{(i)}$

梯度下降算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，因此在(3.3)式前添加一个负号，并乘以一个系数 $\alpha$（即学习率），得到最终用于迭代计算参数$\theta_j$的形式：

$\theta_{j} :=\theta_{j}-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x_{j}^{(i)}$

其中$\alpha$是learning rate. 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子：

$\theta_{j} :=\theta_{j}\left(1-\alpha \frac{\lambda}{m}\right)-\alpha \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right) x_{j}^{(i)}$

其中$\lambda$就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代，$\theta_j$都要先乘以一个小于1的因子，从而使得$\theta_j$不断减小，因此总得来看，$\theta$是不断减小的。最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。